유체역학(Fluid Mechanics) - 2 유체의 성질(Fluid Properties)

유체역학(Fluid Mechanics) - 2 유체의 성질(Fluid properties)

 

 

 

들어가는 말

 

 유체역학은 유체의 거동에 대한 학문이라고 했습니다. 이번 글에서는 유체의 거동을 분석하고, 이해하기 위해 필요한 개념들을 설명하도록 하겠습니다. 유체역학을 처음 접하시는 분들도 한 번쯤은 들어본 단어들이 많을 겁니다. 밀도, 점성, 음속, 표면장력 등등.. 이번 기회에 저 단어들이 어떻게 정의되고, 무엇을 의미하는지 정리해 보도록 하겠습니다.

 

 

 

유체의 질량과 무게를 나타내는 유체의 성질

 

 밀도(density)

 밀도는 그리스 문자 ρ (rho)로 표시하며, 단위부피당 질량으로 정의됩니다.

유체역학에서는 주로 질량의 특성을 나타내기 위해 사용됩니다.

 

 비중량(specific weight)

 비중량은 그리스 문자 γ (gamma)로 표시하며, 단위 부피당의 무게로 정의됩니다.

따라서 비중량은 γ = ρg 로 나타낼 수  있습니다. 여기서 g는 중력가속도입니다.

 

 비중(specific gravity)

비중은 SG로 표시하며, 유체의 밀도와  물의 밀도(특정 온도에서)의 비로 정의됩니다.

일반적으로  4℃ (277K)에서의 물의 밀도 1000 kg/㎥을 사용합니다.

비중을 식으로 표현하면 $ SG = \large \frac{\rho}{\rho_{H_{2}O@4^{\circ}C}}$  로 나타낼 수 있습니다.

 

 

 

점성과 점성계수

 

 점성은 유체의 흐름에 대해 저항하는 정도(마찰)입니다. 유체역학 서론에서 설명했듯이 유체는 전단응력(shear stress)이 작용함에 따라 형태가 연속적으로 변하게 됩니다. 이때 유체의 점성이 크다면(전단응력에 저항하는 정도가 크다면) 변화가 천천히 일어날 것이고, 점성이 작다면 변화가 빠르게 일어날 것입니다. 물과 물엿이 담겨있는 병을 기울여서 흘려보낸다고 생각하면 쉽게 이해할 수 있습니다. 이때의 끈끈함의 정도가 바로 점성입니다.

 

유체 유동에서 점성의 존재 유무에 따라 점성 유동(viscous flow), 비점성 유동(inviscid flow)으로 구분할 수 있습니다. 사실, 모든 유체는 점성이 있으므로 비점성 유동은 존재하지 않습니다. 하지만 안그래도 복잡한 유체역학에서, 조금이라도 문제를 단순화 시키는 것이 좋기에 점성을 무시할만 유동일 때 '비점성 유동이다' 라고 가정하는 경우가 많습니다.

 

점성계수 (dynamic viscosity)와 동점성계수(kinematic viscosity)

 

두 평행한 평판 사이에서 유체가 들어있는 경우를 생각해 봅시다. 바닥 평판은 고정되어 있고, 위 평판에는 P라는 힘이 가해지고 있습니다. 위 평판이 작은 거리 $ \delta a $ 만큼 이동할 때, 직선 AB는 $ \delta\beta $ 만큼 회전할 것입니다. 가해진 힘 P에 저항하기 위해 평판과 유체의 경계면에 전단응력$ \tau $ 가 발생하게 될 것이고, 위 평판의 유효 면적을 A라고 하면 $ P = \tau A$ 의 관계가 성립할 것입니다.

(munson, 2013, fundamentals of fluid mechanics 7th)

* 점착조건(no-slip condition): 유체가 고체의 경계면에 '붙는' 현상

 

 

점착조건에 의해 벽에 맞닿아있는 유체의 속도는 벽에 대해 상대적으로 0이 됩니다.

따라서 위 평판에 접하고 있는 유체는 평판의 운동속도와 같은 U로 운동하고, 고정된 바닥에 접하고 있는 유체는 정지하고 있습니다.

 

점성계수를 개념적으로 쉽게 도출해 내기 위해,

속도 프로파일을 $ u = \frac{U}{b}y $를 따라 선형적으로 변한다고 가정합시다.

그렇다면, 평판 사이의 유체에는 일정한 속도구배(velocity gradient) $ \frac{du}{dy} = \frac{U}{b} $가 발생합니다.

 

 $ \delta\beta $ 가 매우 작을 때, $ tan \delta\beta = \large \frac{\delta a}{b}$ 로 근사할 수 있습니다.

 $ \delta a = U \delta t $ 이므로, $ \delta\beta = \large \frac{U \delta t}{b}$,   $ \large \frac{\delta\beta}{\delta t} = \frac{U}{b} $ 가 됩니다.

 

 $ \delta\beta $ 가 매우 작아지게 하기 위해서 $ \delta\beta \to 0$ 으로 보내줍시다.

여기서 $ \displaystyle \lim_{ \delta\beta \to 0} \frac{\delta\beta}{\delta t} $ 는 시간에 따른 각 변화, 즉 전단변형률(shear strain rate)  $\dot{\gamma}$ 로 정의할 수 있습니다. 

 

위 그림의 조건에서 P(평판에 가해지는 힘)을 증가시키면 전단응력 $ \tau $ 가 증가되고, 전단변형률도 비례적으로 증가할 것입니다.

$ \tau \propto \dot{\gamma} $ 이고,     $\dot{\gamma} = \large \frac{U}{b} = \large \frac{du}{dy}$ 이므로 비례상수 $ \mu $ 를 도입하여 다시 표현해보면

 

$ \tau =  \mu \large \frac{du}{dy} $

 

의 형태로 나타낼 수 있습니다.

여기서 비례상수는 그리스 문자 μ(mu)로 표시하고 점성계수(dynamic viscosity) 라고 부릅니다.

 

  전단응력과 전단변형률이 정비례하는 유체를 뉴턴 유체(newtonian fluids)라고 합니다.

전단응력과 전단변형률이 정비례하지 않는 나머지 유체들은 비뉴턴 유체(non-newtonian fluids)라고 합니다.

 

유체 유동의 문제에서 점성계수를 밀도로 나눠서, 다음과 같은 형태로 나타내기도 합니다.

 

$ \nu =  \large \frac{\mu}{\rho} $

이 비를 동점성계수(kinematic viscosity)라 하고 그리스 문자 ν(nu)로 표시합니다.

 

 

 

 

유체의 압축성과 음속

 

 체적탄성계수(bulk modulus)

 유체의 압축성을 나타내기 위해 사용되는 유체의 성질은 체적탄성계수 $E_{v}$ 입니다.

체적탄성계수는 다음과 같이 정의됩니다.

 $ E_{v} = -\frac{dp}{dV/V}$ 

dp는 체적 V가 미소변화 dV만큼 변하는 데 필요한 미소 압력변화입니다.

앞에 음의 부호가 붙어있는 이유는, 압력이 증가할 때 체적이 감소하기 때문입니다.

 

압축성 유체와 비압축성 유체

 체적탄성계수의 값이 크다는 것은 체적을 조금 변화시키는 데 큰 압력변화가 필요하다는 것을 의미합니다. 따라서 체적계수의 값이 크다면, 해당 유체는 상대적으로 압축이 잘 되지 않는 것이죠. 한 시스템 내에서 체적이 변화한다는 것은 다시 말하면 밀도가 변한다는 것과 같습니다.(질량이 일정하므로)

 이렇게 압력이 변화할 때 밀도가 변하는 유체를 압축성(compressible) 유체라고 하고, 압력이 변화해도 밀도가 변하지 않는 유체를 비압축성(incompressible) 유체 라고 합니다.

 

 모든 유체는 압축성이 있기 때문에, 실제로 비압축성 유체는 존재하지 않습니다. 하지만 유동을 해석하는 데 있어서 유체의 압축성을 고려해야 할 경우 밀도를 변수로 고려해줘야 하지만, 비압축성의 경우에는 밀도를 상수취급 할 수 있기 때문에 분석이 훨씬 간편해집니다. 물과 같은 액체들은 비 압축성 유체에 가깝기 때문에, 대부분의 공학 문제에서 비압축성 유체로 취급합니다. 또, 기체의 경우도 마하 0.3 이하의 속도를 가질 경우 비압축성 유체로 가정하고 문제를 풀기도 합니다.

 

 음속(speed of sound)

 유체의 압축성으로 인한 중요한 영향은 유채 내의 점에서 발생한 교란(파동)이 유한한 속도로 전파되는 것입니다.

소리의 경우를 생각해 봅시다. 스피커의 박막이 진동하면 국부적으로 교란(파동)이 생기고, 박막의 운동에 의해 발생한 압력의 미소한 변화는 유한한 속도로 공기 중에 퍼져나갑니다. 이때의 전파속도를 음속이라고 합니다. 최종적으로는 귀의 고막이 연속적으로 움직이는 압력파에 반응하게 되어, 소리가 들리는 것입니다.

 

음속은 유체의 압력과 밀도 변화와 관계가 있습니다.

 $\large c = \sqrt{\frac{dp}{dq}}$ 

 

이를 체적탄성계수로 표현하면 다음과 같습니다.

 $\large c = \sqrt{\frac{E_{v}}{\rho}}$ 

 

 

 

 

표면 장력(surface tension)

 

 액체 표면 위에서 경계면을 따라 작용하는 단위 길이당 분자 간의 인력 강도를 표면장력(surface tension)이라 부르고, 그리스 문자 σ(sigma)로 표시합니다.

 

 표면 장력은 액체 표면의 분자들에 작용하는 응집력의 불균형으로 인해 발생합니다.

액체와 기체 사이, 또는 서로 섞이지 않는 두 액체 사이에서는 경계면(interface)이 형성됩니다. 이때 액체 속에 깊숙이 있는 분자들은 둘러싸고 있는 주위의 분자들과 같은 크기의 힘으로 서로 끌어당기지만, 표면에 있는 분자들은 다른 분자들에 의해 받는 힘이 액체 내부를 향하게 됩니다. 액체 표면을 따라서 일어나는 이러한 힘의 불균형이 겉으로 보기에는 마치 가상적인 껍질이나 막이 생긴 것처럼 보이게 하는 것입니다.

쉽게 설명하면, 액체는 액체분자의 응집력에 의해 표면을 작게 하려는 성질이 있는데, 이 때문에 발생하는 힘이 표면 장력입니다.

 

 

 

오늘 내용 정리

 

1. 점성은 유체의 흐름에 저항하는 정도이다.

2. 유동을 설명할 때 점성의 존재 유무에 따라 점성 유동(viscous flow), 비점성 유동(inviscid flow)으로 구분한다.

3. 점성계수는 유체에 작용하는 전단응력(shear stress)과 전단변형률(shear strain rate) 사이의 관계를 나타내는 비례상수이다.

4. 전단응력과 전단변형률이 정비례하는 유체를 뉴턴유체(newtonian fluids), 그렇지 않은 유체를 비 뉴턴유체(non-newtonian fluids)라고 한다.

5. 유체는 압축성에 따라 압축성 유체와 비압축성 유체로 나뉜다. 

6. 표면장력은 액체 표면 위에서 경계면을 따라 작용하는 단위 길이당 분자 간의 인력 강도이며, 액체 표면 분자들에 작용하는 응집력의 불균형으로 인해 발생한다.

 

 

 

 

참고 서적: munson, 2013, fundamentals of fluid mechanics 7th