공업수학 - Exact ODE(완전상미분방정식)

 

공업수학 - Exact ODE(완전상미분방정식)

 

지난 글에 이어 상미분방정식을 풀이하는 또다른 방법에 대해 포스팅하도록 하겠습니다.

 

다음과 같은 미분방정식을 풀어봅시다.

전에 배웠던 변수분리법으로는 풀 수 없습니다. 분리가 안되거든요.

위와 같은 경우 다른 풀이 방법이 필요한데, 바로 완전미분방정식(Exact differential equation)입니다.

 

 

Exact ODE(완전상미분방정식)

 

완전상미분방정식을 이해하기 위해서는 전미분에 대해 알아야 합니다.

미적분에서 다변수 함수 u(x,y)가 편도함수를 가질 때 그것의 전미분은 다음과 같은 꼴로 표현됩니다.

만약 상미분방정식이 위와 같은 형태로 표현된다면, 적분을 통해 어렵지 않게 일반해를 구할 수 있습니다.

위 형태를 기억하면서 전에 나왔던 미분방정식을 풀어봅시다.

양변에 dy항을 더해주고,

M(x,y),N(x,y) 이라는 함수를 사용하여 다시 식을 나타내봅시다.

 

갑자기 M,N 이라는 함수를 쓴 이유는 dx와 dy 앞에 있는 계수항을 임의의 함수로 표현하여

완전미분방정식의 풀이를 공식처럼 나타내기 위해서 입니다. 

​

여기서 M,N에 한가지 조건을 추가해 전미분의 형태로 만들어 봅시다.

 

또한,

이 조건은 주어진 미분방정식이 완전미분방정식이 되기 위한 필요충분조건입니다.

 

다시 아까의 미분방정식으로 돌아와서,

​

이해가 잘 되지 않았다면, 예시를 통해서 개념을 적용해봅시다.

 

예시)

 

 

 

 

내용 정리

 

1. 주어진 미분방정식을 M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0으로 표현

 

2.​

조건을 이용하여 완전미분방정식인지 검사

 

3.

완전미분방정식이라면 양 변을 x에 대해 적분.

이 때, y는 상수로 간주되어야 하므로 상수항은 y에 대한 함수

 

4.

 

 

 

 

참고: Kreyszig 공업수학 10판