공업수학 - Separable ODE(분리가능 상미분 방정식)

공업수학 - Separable ODE(분리가능 상미분 방정식)

 

지난 포스팅에 이어 상미분방정식을 풀이하는 방법에 대해 포스팅하도록 하겠습니다.

 

Solution of equation(방정식의 해)

 

방정식의 soultuion에 대해서 먼저 언급하고 시작할게요.

x에 관한 1차방정식에 대해 해를 구한다고 하면, 등식을 만족하는 x값을 구하는 것이라고 했습니다.

라는 방정식이 있다고 하면, 우리는 쉽게 x=16 이라는 해를 구할 수 있죠.

 

상미분방정식도 똑같습니다.

상미분방정식의 해를 구한다고 하면, 등식을 만족하는 함수 y=f(x)를 구하는 것이라고 했습니다.

 

위의 상미분방정식도 똑같이 접근해봅시다.

 

 

Method of separating variables(변수분리법)

 

 

모든 상미분방정식이 위의 예시처럼 간단한게 풀리면 좋겠지만 당연히 아니겠죠.

다음과 같은 상미분방정식이 있습니다

위에서 했던 두가지 접근법으로 상미분방정식을 풀어봅시다.

 

이런 방법으로는 풀기가 쉽지 않습니다.

위와 같은 상미분방정식은 변수분리법(method of separating variables)이라는 방법으로 쉽게 구할 수 있습니다.

식의 양 변에 변수들이 분리되어 방정식의 우변에는 x만, 좌변에는 y만 나타나기 때문에 '변수분리법' 이라고 부릅니다.

변수분리법을 통해 풀이가 가능한 방정식을 분리가능 방정식(Separable equation 또는 Separable ODE)이라고 합니다.

 

Separable ODE의 예시와 풀이)

 

Deformation into separable form (분리가능한 형태로 변환)

 

 

자 이제 변수분리법도 배웠겠다 상미분방정식을 풀어보려 했더니..

이런 ODE가 등장했습니다. 한쪽으로 변수를 몰아보려고 해도 절대 되지가 않습니다.

따라서 위와 같은 형태는 치환을 통해 풀어야 합니다. 이제 여기서부터는 조금 어려워집니다.

 

위의 예시처럼 y/x=u로 놓는 치환이 분리가능한 형태로 변환할 때 대표적인 케이스 입니다.

라는 형태를 찾으셨다면, 치환을 통해 변수분리법으로 풀이가 가능한거죠.

 

 

예시)

 

 

내용 정리

 

1. 분리가능 상미분방정식의 경우 변수분리법으로 풀이가 가능하다.
1-2. 변수분리법이란 양 변에 변수를 분리한 후 적분하는것.
2. 변수분리가 안될 경우 몇몇 함수는 치환을 통해 풀이가 가능하다.

 

끝.

 

참고: Kreyszig 공업수학 10판