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기계공학/공업수학

공업수학 - Ordinary differential equation(상미분방정식)

by h4pp2withU 2020. 4. 27.
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공업수학 - Ordinary differential equation(상미분방정식)

 

 

공업수학의 가장 첫부분인 Ordinary Differential Equation

줄여서 ODE라고 부르기도 하는 상미분방정식에 대해 포스팅 하겠습니다.

 

※이 글을 이해하기 위해 필요한 지식 : 고등학교 2학년 수준의 미적분학

 

 

Equation (방정식)

 

 

우리가 흔히 알고있는 방정식의 대표적인 모습은 다음과 같습니다.

x라는 미지수가 설정되어 있고, x의 값에 따라 등식은 참이 될 수도 있고 거짓이 될 수도 있습니다.

x의 차수에 따라 1차방정식, 2차방정식, n차방정식이라고 부릅니다.

 

위의 예시의 경우 1차방정식이기 때문에 등식을 만족하는(등식을 참이 되게 하는) 미지수 x의 값은 1개가 존재합니다.

미지수 x의 값은 다음과 같이 구할 수 있습니다.

이렇게 식을 만족하는 x의 값을 구하는 과정을 '방정식을 푼다' 라고 하고, x = 4를 방정식의 '' 라고 부릅니다.

 

 

 

Differential equaiton (미분방정식)

 

 

미분방정식이란 도함수를 포함하고 있는 방정식을 말합니다.

미지수가 있던 자리에 미지함수의 도함수가 들어가게 됩니다. 미지함수는 일반적으로 y(x)로 나타냅니다.

미분방정식은 x의 함수, 상수, 또는 y를 포함할 수 있습니다. 예시는 다음과 같습니다.

다항방정식에 1차, 2차 방정식 등 n차 방정식이 있듯이

미분방정식에도 도함수의 계수에 따라 1계 미분방정식, 2계 미분방정식 등 n계 미분방정식이 존재합니다.

 

식 (1)의 경우 1계 미분방정식,

식 (2)의 경우 2계 미분방정식이 됩니다.

 

 

Ordinary differential equation (상미분방정식)

 

 

위에 나왔던 식(1)과 식(2)는 미분방정식은 상미분방정식(Ordinary differential equation)의 예시 입니다.

편미분방정식(Partial differential equation)과 구분하기 위해 상(Ordinary)라는 용어를 사용한 것입니다.

(편미분방정식은 두개 이상의 변수를 가진 함수의 편도함수를 포함하는 방정식입니다.)

 

상미분방정식은 두가지 형태로 나타낼 수 있습니다.

 

음형태(implicit form)로 나타내면 다음과 같고,

양형태(explicit form)로 나타내면 다음과 같습니다.

어떤 형태이든지 상미분방정식을 푸는데는 전혀 상관이 없습니다. 예시를 들어볼게요.

위의 식과 아래 식은 형태만 다를 뿐 같은 ODE를 나타냅니다.

양 변에 4y^2을 더해주고 x^3을 곱해주면 같은 ODE라는 것을 쉽게 알 수 있죠.

 

 

해 (Solution)

 

 

상미분방정식에서 해(Solution)의 정의는 다음과 같습니다.

 

 

말이 조금 어렵게 써 있지만 예시를 통해 이해해 봅시다.

다항방정식에서는 x = c 등의 상수로 해가 나오지만,

미분방정식에서는 y = f(x) 꼴의 함수로 해가 나오게 됩니다.

 

 

내용 정리

 

 

이번 내용은 이론적인 부분이라서 이정도만 알고 넘어가셔도 됩니다.

 

1.미분방정식이란 도함수를 포함하고 있는 방정식이다.
2.미분방정식에는 상미분방정식(ODE)과 편미분방정식(PDE)이 있다.
3.미분방정식에서 해(Solution)는 미분방정식에 대입하였을때 항등식을 만드는 함수이다.

 

 

이번 포스팅에서는 미분방정식과 미분방정식의 종류중 하나인 ODE에 대해서 알아보았습니다.

ODE의 풀이방법에 대해서는 다음 포스팅에서 이어가도록 하겠습니다.

 

 

참고: Kreyszig 공업수학 10판

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